【題目】過直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)A(a,﹣1)作拋物線y=x2的兩切線AP,AQ,P,Q為切點(diǎn).
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.
(2)求證:直線PQ過定點(diǎn).
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)設(shè)過A作拋物線y=x2的切線的斜率為k,用選定系數(shù)法給出切線的方程,與拋物線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于x的一元二次方程,此一元二次方程僅有一根,故其判別式為0,得到關(guān)于k的一元二次方程,k1,k2必為其二根,由根系關(guān)系可求得兩根之積為定值,即k1k2為定值;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),用其坐標(biāo)表示出兩個(gè)切線的方程,因?yàn)?/span>A點(diǎn)是兩切線的交點(diǎn)將其坐標(biāo)代入兩切線方程,觀察發(fā)現(xiàn)P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐標(biāo)都適合方程2ax﹣y+1=0上,因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,故可得過這兩點(diǎn)的直線方程必為2ax﹣y+1=0,該線過定點(diǎn)(0,1)故證得.
(1)設(shè)過A作拋物線y=x2的切線的斜率為k,
則切線的方程為y+1=k(x﹣a),
與方程y=x2聯(lián)立,消去y,得x2﹣kx+ak+1=0.
因?yàn)橹本與拋物線相切,所以△=k2﹣4(ak+1)=0,
即k2﹣4ak﹣4=0.由題意知,此方程兩根為k1,k2,
∴k1k2=﹣4(定值);
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=x2,得y′=2x.
所以在P點(diǎn)處的切線斜率為:,
因此,切線方程為:y﹣y1=2x1(x﹣x1).
由y1=x12,化簡(jiǎn)可得,2x1x﹣y﹣y1=0.
同理,得在點(diǎn)Q處的切線方程為2x2x﹣y﹣y2=0.
因?yàn)閮汕芯的交點(diǎn)為A(a,﹣1),故2x1a﹣y1+1=0,2x2a﹣y2+1=0.
∴P,Q兩點(diǎn)在直線2ax﹣y+1=0上,即直線PQ的方程為:2ax﹣y+1=0.
當(dāng)x=0時(shí),y=1,所以直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(0,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線的準(zhǔn)線相切.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),若的面積為6,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形為等腰梯形,為正方形,平面平面,,.
(1)求證:平面平面;
(2)點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),求與平面所成角正弦值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校打算在長(zhǎng)為1千米的主干道一側(cè)的一片區(qū)域內(nèi)臨時(shí)搭建一個(gè)強(qiáng)基計(jì)劃高校咨詢和宣傳臺(tái),該區(qū)域由直角三角形區(qū)域(為直角)和以為直徑的半圓形區(qū)域組成,點(diǎn)(異于,)為半圓弧上一點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足.已知,設(shè),且.初步設(shè)想把咨詢臺(tái)安排在線段,上,把宣傳海報(bào)懸掛在弧和線段上.
(1)若為了讓學(xué)生獲得更多的咨詢機(jī)會(huì),讓更多的省內(nèi)高校參展,打算讓最大,求該最大值;
(2)若為了讓學(xué)生了解更多的省外高校,貼出更多高校的海報(bào),打算讓弧和線段的長(zhǎng)度之和最大,求此時(shí)的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,,分別是其左、右焦點(diǎn),且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在直線上任取一點(diǎn),從點(diǎn)向的外接圓引一條切線,切點(diǎn)為.問是否存在點(diǎn),恒有?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐O﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形,OA=2,∠ABC=60°,OA⊥平面ABCD,M、N分別是OA、BC的中點(diǎn).
(1)求證:直線MN∥平面OCD;
(2)求點(diǎn)M到平面OCD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)直觀想象學(xué)科的六大核心素養(yǎng),為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是(注:雷達(dá)圖,又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖,可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)( )
A.甲的直觀想象素養(yǎng)高于乙
B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)
C.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)一樣
D.乙的六大素養(yǎng)整體水平低于甲
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