Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)．（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)原點(diǎn)O且斜率為k（k＜0）的直線(xiàn)l交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（II）設(shè)該直線(xiàn)方程為y=kx，代入
解得B（ ），C（ ），
則 ，又點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離d=，
∴△ABC的面積S_△ABC=
于是S_△ABC=
由 ≥-1，得S_△ABC≤，其中，當(dāng)k=時(shí)，等號(hào)成立．
∴S_△ABC的最大值是 ．直線(xiàn)方程為y=x
分析：（Ⅰ）由左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（II）設(shè)該直線(xiàn)方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)|BC|，再求原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而可得三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，求三角形面積的最值，關(guān)鍵是構(gòu)建模型，利用基本不等式求解．