Question

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），設(shè)點A(1，

1

2

)．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由左焦點為 F(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．
（II）由于線段PA中點M隨著P的變動而變動，故只需求出兩動點之間的坐標關(guān)系，利用P再橢圓上即可求得線段PA中點M的軌跡方程
（Ⅲ）當(dāng)直線BC垂直于x軸時，線段BC的長為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當(dāng)直線BC不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，求得B，C的坐標，從而求得BC長，利用點到直線的距離公司可求點A到直線BC的距離，從而可求△ABC的面積，進而可求k及直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1，…（1分）
又橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）設(shè)線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），由x=

x0+1

2

，y=

y0+ 1 2

2

得x₀=2x-1，且y0=2y-

1

2

．…（4分）
由點P在橢圓上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴線段PA中點M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．…（6分）
（Ⅲ）當(dāng)直線BC垂直于x軸時，線段BC的長為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當(dāng)直線BC不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，解得
B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），則|BC|=4

1+k2

1+4k2

．…（8分）
又點A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

．…（10分）
于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

=1，得

4k

4k2+1

=0，所以k=0．
∴直線l存在，其方程為x=0和y=0．…（12分）

點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，同時考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，代入法求軌跡方程解題的關(guān)鍵是尋找動點之間的坐標關(guān)系．