Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：

x=1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把給出的圓的參數(shù)方程移項平方即可得到圓的普通方程，展開兩角和的余弦公式，整理后代入
x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）使△ABM面積取得最大值的點M在經(jīng)過圓心，且與直線l垂直的直線上，由弦心距，圓的半徑，求出弦AB的長度，M到l的距離為弦心距與圓的半徑的和，然后直接代入三角形面積公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由

x=1+cosθ y=sinθ

，得

x-1=cosθ y=sinθ

，平方作和得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+y²=1．
由ρcos(θ+

π

4

)=0，得ρcos

π

4

cosθ-ρsin

π

4

sinθ=0，即ρcosθ-ρsinθ=0．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y=0；
（Ⅱ）∵圓心（1，0）到直線l的距離為d=

1

1+1

=

2

2

，
則圓上的點M到直線的最大距離為d+r=

2

2

+1（其中r為曲線C的半徑），
又|AB|=2

12-( 2 2 )2

=

2

．
設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），
則過M且與直線l垂直的直線l′的方程為：x+y-1=0，
聯(lián)立

(x-1)2+y2=1 x+y-1=0

，解得：

x= 2 2 +1 y=- 2 2

，或

x=- 2 2 +1 y= 2 2

．
經(jīng)檢驗

x=- 2 2 +1 y= 2 2

舍去．
故當(dāng)點M為(

2

2

+1，-

2

2

)時，△ABM面積的最大值為：
(S△ABM)max=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

點評：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了點的極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是明確使△ABM面積最大時的M的位置，是中檔題．