Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，滿足：a₁=1，S_n-2S_n-1=1，n∈N^*，且n≥2．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）已知c_n=

n

an

（n∈N^*），數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，若存在正整數(shù)M，m，使m≤T_n＜M對任意正整數(shù)n恒成立，求M，m的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n與s_n的關(guān)系，兩式作差即得結(jié)論；
（2）利用錯位相減法求得數(shù)列{c_n}的前n項和Tn，再利用數(shù)列的增減性及放縮法求得T_n的最小值、最大值，即可得證．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，由

Sn-2Sn-1=1 Sn+1-2Sn=1

兩式相減得a_n+1-2a_n=0，
又當(dāng)n=2時，a₂=2，
所以

an+1

an

=2(n∈N*)，
所以{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an=2n-1，∴cn=n×(

1

2

)n-1，
∴Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+(n-1)×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1
∴

1

2

Tn=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n
兩式相減得

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n=2-(n+2)×(

1

2

)n
∴T_n=4-(n+2)×(

1

2

)n-1＜4，
所以M可以取大于等于4的任意整數(shù)，
又∵Tn+1-Tn=(n+1)×(

1

2

)n＞0∴T_n≥T₁=1，
綜上，存在正整數(shù)M，m，使得m≤T_n＜M對任意正整數(shù)n恒成立，其中m=1，M≥4且M∈N．

點評：本題主要考查利用公式法求數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和的方法錯位相減法的運用，考查學(xué)生的運算能力及恒成立問題的轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．