Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足：S_n=1-a_n（n∈N₊），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）假設(shè)已知a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$（n∈N₊），試求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=1-a_n（n∈N₊），可得a₁=1-a₁，解得a₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可證明．
（II）a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ（n∈N₊），利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵S_n=1-a_n（n∈N₊），∴a₁=1-a₁，解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），化為2a_n=a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$；
（II）解：a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，
∴數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ（n∈N₊），
{b_n}的前n項和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．