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11.已知函數(shù)f(x)=sin(π3+ωx)+cos(ωx-π6)(ω>0),f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若x∈[-π3,π6],求y=f(x)的值域.

分析 由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域,得出結(jié)論

解答 解:由函數(shù)f(x)=sin(π3+ωx)+cos(ωx-π6)=sinπ3cosωx+cosπ3sinωx+cosωxcosπ6+sinωxsinπ6
=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+π3),
(1)由f(x)的最小正周期為2πω=π,求得ω=2,f(x)=2sin(2x+π3).
(2)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,求得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,
故函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z.
(3)若x∈[-π3,π6],則2x+π3∈[-π32π3],
故當(dāng)2x+π3=-π3時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為-3,當(dāng) 2x+π3=π2時(shí),f(x)取得最大值為2,
故y=f(x)的值域?yàn)閇-3,2].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域,屬于中檔題.

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