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已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
,且f(3)=6.
(1)求a的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)函數(shù)在(3,+∞)上是增函數(shù),還是減函數(shù)?并證明你結(jié)論.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)直接代入,解方程,即可求得a;
(2)運(yùn)用奇偶性的定義,先求定義域,再計(jì)算f(-x),與f(x)即可得到奇偶性;
(3)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷,注意作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=x+
a
x
,且f(3)=6,
則3+
a
3
=6,解得,a=9;
(2)f(x)=x+
9
x
為奇函數(shù),
理由如下:定義域{x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
f(-x)=-x+
9
-x
=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)在(3,+∞)上是增函數(shù).
理由如下:設(shè)3<m<n,則f(m)-f(n)=m+
9
m
-(n+
9
n

=(m-n)+
9(n-m)
mn
=(m-n)(
mn-9
mn

由于3<m<n,則m-n<0,mn>9,即mn-9>0,mn>0,
則f(m)-f(n)<0,即f(m)<f(n).
則函數(shù)f(x)在(3,+∞)上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,注意運(yùn)用定義解題,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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