Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且f（3）=6．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）函數(shù)在（3，+∞）上是增函數(shù)，還是減函數(shù)？并證明你結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接代入，解方程，即可求得a；
（2）運(yùn)用奇偶性的定義，先求定義域，再計算f（-x），與f（x）即可得到奇偶性；
（3）運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個步驟．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且f（3）=6，
則3+

a

3

=6，解得，a=9；
（2）f（x）=x+

9

x

為奇函數(shù)，
理由如下：定義域{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=-x+

9

-x

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是增函數(shù)．
理由如下：設(shè)3＜m＜n，則f（m）-f（n）=m+

9

m

-（n+

9

n

）
=（m-n）+

9(n-m)

mn

=（m-n）（

mn-9

mn

）
由于3＜m＜n，則m-n＜0，mn＞9，即mn-9＞0，mn＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義解題，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．