Question

已知命題p：函數(shù)y=lg（ax²+2ax+1）的值域是R，命題q：

ax2+3ax+2a+1

的定義域為R，若p∧q為真命題，則實數(shù)a的取值集合為

 

．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的值域和判別式△的關(guān)系，一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系即可求出命題p，q下a的取值范圍，根據(jù)p∧q為真命題知p，q都是真命題，所以求前面求得的a的取值范圍的交集即可．

解答： 解：（1）對于命題p，由對數(shù)函數(shù)的值域知函數(shù)ax²+2ax+1的值域為（0，+∞）；
a=0時，該函數(shù)為變?yōu)?，顯然值域為{1}，不符合條件；
a≠0則：

a＞0 △=4a2-4a≥0

，解得a≥1；
（2）對于命題q，不等式ax²+3ax+2a+1≥0的解集為R；
若a=0，不等式變成1≥0，解集為R，符合條件；
若a≠0，則：

a＞0 △=9a2-4a(2a+1)≤0

，解得0＜a≤4；
∴0≤a≤4；
若p∧q為真命題，則p，q都為真命題；
∴a≥1，且0≤a≤4；
∴1≤a≤4；
∴實數(shù)a的取值集合為[1，4]．
故答案為：[1，4]．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的值域為（0，+∞）時判別式△的取值情況，一元二次不等式的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．