已知函數(shù)f(x)=2cosxcos(
π
6
-x)-
3
sin2x+sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè)x∈[-
π
3
,
π
2
],求f(x)的值域.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最小正周期和單調(diào)增區(qū)間.
(2)根據(jù)x的范圍確定2x+
π
3
的范圍,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值.
解答: 解:(1)∵f(x)=2cosxcos(
π
6
-x)-
3
sin2x+sinxcosx=
3
(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=
3
cos2x+sin2x
=2sin(2x+
π
3

∴函數(shù)最小正周期為T=
2
=π,
由-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ,得-
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ,k∈z

∴單調(diào)增區(qū)間為(
-5π
12
+kπ,
π
12
+kπ)

(2)∵x∈[-
π
3
, 
π
2
]

-
π
3
≤2x+
π
3
3
,
f(x)=2sin(2x+
π
3
)
,
f(x)∈[-
3
, 2]
,
f(x)的值域為[-
3
, 2]
點評:本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角函數(shù)圖象與性質(zhì).注重了對學(xué)生基本公式和性質(zhì)的記憶和運用的考查.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sin(x-
π
6
)+cos(x-
π
6
).
(Ⅰ)當(dāng)x∈A時,函數(shù)f(x)取得最大值或最小值,求集合A;
(Ⅱ)將集合A中x∈(0,+∞)的所有x的值,從小到大排成一數(shù)列,記為{an},求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)令bn=
π
2
 
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

π
4
<α<
4
,0<β<
π
4
且sin(α+
π
4
)=
3
5
,cos(
π
4
+β)=
5
13
,求sin(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某計算機集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元,生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元,每臺計算機的售價為5000元,分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P(萬元)、銷售收入R(萬元)以及利潤L(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量X(臺)的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線f(x)=ex+x
(1)求曲線在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)若點Q為曲線y=f(x)上到直線y=2x-1距離最近的點,求點Q的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}(n∈N*)的各項滿足a1=1-3k,an=4n-1-3an-1(n≥2,k∈R),
(Ⅰ)判斷數(shù)列{an-
4n
7
}是否成等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ex,g(x)=ex+
1
2
x2-ax(a∈R)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)定義:若函數(shù)φ(x)在定義域為[m,n](m<n)上的值域為[m,n],則稱區(qū)間[m,n]為函數(shù)φ(x)的“同域區(qū)間”,當(dāng)a=
3
2
時,函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)是否存在“同域區(qū)間”?請說明理由;
(3)當(dāng)a>1時,對于區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S6=51,a5=13.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}的通項公式是bn=2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)g(x)=|x-3m|+|x-1|,m∈R.若存在x0∈R,使得g(x0)-4<0成立,則m的取值范圍為
 

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