Question

已知函數(shù)f(x)=

( 1 2 ) x+1，x≤0 - 4x+3   ，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)   ，x＞1

（1）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的簡(jiǎn)圖（要求標(biāo)出關(guān)鍵的點(diǎn)、線）；
（2）結(jié)合圖象，求當(dāng)f（x）＞1時(shí)，x的取值范圍；
（3）觀察圖象，若關(guān)于x的方程f（x）=t有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù) t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而根據(jù)分段函數(shù)分段畫(huà)的原則，可得函數(shù)y=f（x）的簡(jiǎn)圖；
（2）令-4x+3=1得x=

1

2

；令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

，進(jìn)而根據(jù)（1）中圖象，可得當(dāng)f（x）＞1時(shí)，x的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=t有兩個(gè)解，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=t只有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)（1）中圖象，可得實(shí)數(shù) t的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x +1，x≤0 -4x+3，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)，x＞1

的圖象如下圖所示：

（2）因?yàn)?span id="aasy2wm" class="MathJye">(

1

2

)x+1＞1恒成立；
令-4x+3=1得x=

1

2

；
令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

結(jié)合圖象觀察，f（x）＞1時(shí)的x的取值范圍是：x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

（3）觀察圖象知，方程f（x）=t有兩個(gè)解等價(jià)于
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=t只有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以實(shí)數(shù) t的取值范圍是-1≤t＜2或t≥3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的圖象，熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．