Question

已知橢圓

x2

16

+y²=1的左頂點為A，直線x=

8

3

與橢圓交于B、C兩點．
（Ⅰ）求△ABC的內(nèi)切圓G的方程；
（Ⅱ）過點M（0，-1）作圓G的兩條切線交橢圓于E、F兩點，試判斷直線EF與圓G的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）聯(lián)立x=

8

3

與

x2

16

+y²=1可求得點B、C的坐標(biāo)，從而可求直線AB、AC的方程，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓G的方程為(x-x0)2+y2=r2，則x0+r=

8

3

，且r=

| 5 20 x0+ 5 5

1+( 5 20 )2

，解出可得；
（Ⅱ）設(shè)過點M與圓(x-2)2+y2=

4

9

相切的直線方程為：y+1=kx，則

2

3

=

|2k-1|

1+k2

，即32k²-36k+5=0，可求k值，將y+1=kx代入

x2

16

+y²=1得（16k²+1）x²-32kx=0，則異于零的解為x=

32k

16k2+1

，設(shè)E（x₁，k₁x₁-1），F(xiàn)（x₂，k₂x₂-1），可求直線EF斜率，進(jìn)而可得EF方程，根據(jù)直線與圓的判斷方法可的結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）將x=

8

3

代入

x2

16

+y²=1，得y=±

5

3

，
令B（

8

3

，

5

3

），C（

8

3

，-

5

3

），
∵A（-4，0），∴直線AB的方程為y=

5

20

x+

5

5

，直線AC的方程為y=-

5

20

x-

5

5

，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓G的方程為(x-x0)2+y2=r2，
則x0+r=

8

3

，且r=

| 5 20 x0+ 5 5

1+( 5 20 )2

，解得

x0=2 r= 2 3

，
∴△ABC的內(nèi)切圓G的方程為(x-2)2+y2=

4

9

；
（Ⅱ）直線與圓G相切，理由如下：
設(shè)過點M與圓(x-2)2+y2=

4

9

相切的直線方程為：y+1=kx，
則

2

3

=

|2k-1|

1+k2

，即32k²-36k+5=0，
解得k1=

9+ 41

16

，k2=

9- 41

16

，
將y+1=kx代入

x2

16

+y²=1得（16k²+1）x²-32kx=0，
則異于零的解為x=

32k

16k2+1

，
設(shè)E（x₁，k₁x₁-1），F(xiàn)（x₂，k₂x₂-1）則x₁=

32k1

16k12+1

，x₂=

32k2

16k22+1

，
設(shè)EF的斜率為：kEF=

k2x2-k1x1

x2-x1

=

k1+k2

1-16k1k2

=-

3

4

，
于是直線EF的方程為：y-

32k12

16k12+1

+1=-

3

4

(x-

32k1

16k12+1

)，即y=-

3

4

x+

32k12

16k12+1

+

24k1

16k12+1

-1
=-

3

4

x+

24k1-2

16k12+1

+1=-

3

4

x+

7

3

，也就是y=-

3

4

x+

7

3

，
于是圓心（2，0）到直線EF的距離d=

|- 3 2 + 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

=r，
故直線EF與圓C相切．

點評：本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．