Question

【題目】已知無窮數(shù)列,,滿足:對任意的,都有=,=,=.記=(表示個實數(shù),,中的最大值).

(1)若=,=,=,求,,的值;

(2)若=,=,求滿足=的的所有值;

(3)設(shè),,是非零整數(shù),且,,互不相等,證明:存在正整數(shù),使得數(shù)列,,中有且只有一個數(shù)列自第項起各項均為.

Answer 1

【答案】（1）=,=,=.（2）,,,.（3）見詳解

【解析】

(1)由題意代入分別求出,,的值;

(2)設(shè)=,的值,討論的函數(shù)表達式,進而得出,,,,,都用表示,進而求出所有的的值;

(3)分類討論:先,,都不為零,由題意得出矛盾;所以存在正整數(shù),使,,中至少有一個為零,再討論兩個為零得出矛盾,以此類推,即有:對,=,=,=,,此時有且僅有一個數(shù)列自項起各項均為.

（1）由題意:===;===;===;以此類推,看得出=,=,=.

（2）若=,=,=,則=,=,=,

,=,

=,=,

當時,=,=,=,=,由=,得=,不符合題意.

當,=,=,=,,由=,

得=,符合題意.

當,=,=,=,

由=,得=,符合題意,

綜上的取值是:,,,.

（3）先證明：存在正整數(shù),使,,,中至少有一個為零,

假設(shè)對任意正整數(shù),

,,都不為零,由,,是非零整數(shù),且,,互不相等,得,,

若對任意,,,都不為零,則.即對任意,.

當時,=,=,=,

所以=,所以單調(diào)遞減,由為有限正整數(shù),所以必存在正整數(shù),使得,矛盾,

所以存在正整數(shù),使,,中至少有一個為零,

不妨設(shè)=,且,…,則=,且=,

否則若==,因為=,

則必有===,矛盾.

于是,=,=,且=,所以,=,

=,==,

以此類推,即有:對,=,=,=,,

此時有且僅有一個數(shù)列自項起各項均為.

綜上:結(jié)論成立.