【題目】長方體中，F是AB的中點，直線平面，.

（Ⅰ）求長方體的體積；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.

【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證，再分別求出和的長度，根據(jù)體積公式計算即可；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算二面角的余弦值即可.

（1）連接BD，由平面，得，

又，所以平面，所以，

在矩形ABCD中，，，

∴，∴，∴，

同理，則四邊形為正方形，則，

∴長方體體積；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，，

連接AC，在矩形ABCD中，易得，又，所以平面，

則平面的法向量可取為，

而平面的法向量可取，

設(shè)二面角的大小為，則，

所以二面角的余弦值的大小為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示，平行四邊形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路和道路上，且米，，設(shè)．

（1）求停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時，停車場面積最大，并求出最大值（精確到平方米）.

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分組

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

（1）在答題卡所給的坐標(biāo)系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖；分別求出男、女柜員員工的月平均“不滿意”次數(shù)的估計值，試根據(jù)估計值比較男、女柜員員工的滿意度誰高？

（2）在抽取的40名柜員員工中：從“不滿意”次數(shù)不少于20的員工中隨機(jī)抽取3人，并用X表示隨機(jī)抽取的3人中女柜員工的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知橢圓過點離心率為.

（1）求的方程；

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【題目】端午假期即將到來，永輝超市舉辦“濃情端午高考加油”有獎促銷活動，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長在端年節(jié)期間消費每超過600元（含600元），均可抽獎一次，抽獎箱里有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個，黑球有7個），抽獎方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案.

方案一：

從抽獎箱中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球則打6折，若摸出1個紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.

方案二：

從抽獎箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次

（1）若小南、小開均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求他們均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若小杰消費恰好滿1000元，試比較說明小杰選擇哪一種抽獎方案更合算？

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【題目】在某大學(xué)自主招生考生中，所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)?/span>B的考生有20人.

（1）求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)?/span>A的人數(shù)；

（2）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，從這7中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績之和大于等于18的概率.

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②若報出的是為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.

當(dāng)?shù)?/span>50個數(shù)被報出時，六位同學(xué)拍手的總次數(shù)為__________.

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