Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，，求的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)、，同時(shí)滿足下列條件：① ；② 當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，其值域?yàn)?/span>．若存在，求出、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 不存在滿足條件的實(shí)數(shù)、．見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)t＝3x，則φ（t）＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的對(duì)稱軸為t＝a，當(dāng)a＝1時(shí)，即可求出f（x）的值域；

（2）由函數(shù)φ（t）的對(duì)稱軸為t＝a，分類討論當(dāng)a時(shí)，當(dāng)a≤3時(shí)，當(dāng)a＞3時(shí)，求出最小值，則h（a）的表達(dá)式可求；

（3）假設(shè)滿足題意的m，n存在，函數(shù)h（a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結(jié)論．

（1）當(dāng)時(shí)，由，得，

因?yàn)?/span>，所以，．

（2）令，因?yàn)?/span>，故，函數(shù)可化為

．

① 當(dāng)時(shí)，；

② 當(dāng)時(shí)，；

③ 當(dāng)時(shí)，．

綜上，

（3）因?yàn)?/span>，為減函數(shù)，

所以在上的值域?yàn)?/span>，

又在上的值域?yàn)?/span>，所以， 即

兩式相減，得，

因?yàn)?/span>，所以，而由可得，矛盾．

所以，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)、．