【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)的極值;

(2)問:是否存在實數(shù),使得有兩個相異零點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) ①當時,函數(shù)無極值.②當,函數(shù)有極小值為,無極大值;(2)存在,

【解析】

(1)對函數(shù)求導,根據(jù)的不同取值范圍,進行分類討論,求出函數(shù)的極值;

(2)根據(jù)的不同取值范圍,進行分類討論,結(jié)合、函數(shù)的極值的大小、(1)中的結(jié)論,最后求出的取值范圍.

解:(1)因為,所以.

①當時,,

所以時,,所以函數(shù)上單調(diào)遞減.

此時,函數(shù)無極值.

②當,,得,

時,,所以函數(shù)上單調(diào)遞減;

時,,所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

此時,函數(shù)有極小值為,無極大值.

(2)存在實數(shù),使得有兩個相異零點.

由(1)知:①當,函數(shù)上單調(diào)遞減;

,所以此時函數(shù)僅有一個零點;

②當時,.

因為,則由(1)知;

,令,

易得,所以單調(diào)遞減,

所以,所以.

此時,函數(shù)上也有一個零點.

所以,當,函數(shù)有兩個相異零點.

③當,,,

此時函數(shù)僅有一個零點.

④當,,因為,則由(1)知;

令函數(shù),易得,

所以,所以,即.

,所以函數(shù)上也有一個零點,

所以,當,函數(shù)有兩個相異零點.

綜上所述,當時,函數(shù)有兩個相異零點.

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