Question

若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”；
（Ⅱ）證明數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），記b_n=log_2an+1T_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2014成立的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用“平方遞推數(shù)列”的定義證明即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（Ⅲ）由T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），兩邊去對(duì)數(shù)求出T_n，進(jìn)而求得b_n，s_n，解不等式即得結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意得a_n+1=2

a

2 n

+2a_n，∴2a_n+1+1=2（2

a

2 n

+2a_n）+1=(2an+1)2，
∴數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”…（3分）
（II）  由（Ⅰ）得lg（2a_n+1+1）=lg(2an+1)2=2lg（2a_n+1），
∴數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項(xiàng)是lg5，公比為2的等比數(shù)列．
∴l(xiāng)g（2a_n+1）=lg5•2^n-1=lg52n-1，
即2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）（n∈N₊）．…（8分）
（III） lgT_n=lg（2a₁+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg5，
∴T_n=52n-1．
∴b_n=log_2an+1T_n=

lgTn

lg(2an+1)

=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-2+

1

2n-1

．
∴2n-2+

1

2n-1

＞2014，即n+

1

2n

＞1008．
故n的最小值為1008       …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，考查學(xué)生的閱讀能力及新概念的理解運(yùn)用能力和運(yùn)算能力，屬難題．