Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)D的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，求的值．

Answer 1

【答案】（1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為；曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得曲線(xiàn)C的普通方程，結(jié)合極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，即可求得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)題意，求得直線(xiàn)l的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入曲線(xiàn)C的方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，即可求解.

（1）由題意，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為為參數(shù)），即為參數(shù)）

平方相加，可得曲線(xiàn)C的普通方程為，

將代入曲線(xiàn)C的普通方程

可得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，

又由曲線(xiàn)D的極坐標(biāo)方程為，

所以，

又由

所以，

所以曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，

曲線(xiàn)D的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由點(diǎn)，則，即點(diǎn)A（2，2）．

因?yàn)橹本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（2，2）且傾斜角為，

所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，

可得，

設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，

所以.