【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點為,左頂點為A,右頂點B在直線上.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)點P是橢圓C上異于AB的點,直線交直線于點,當(dāng)點運動時,判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)條件解得a,b值,(Ⅱ)設(shè)點Px0,y0),解得D點坐標(biāo),即得以BD為直徑的圓圓心坐標(biāo)以及半徑,再根據(jù)直線PF方程,利用圓心到直線PF距離與半徑大小關(guān)系作判斷.

(Ⅰ)依題可知Ba,0),a=2,因為,所以c=1,

故橢圓C的方程為

(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.

證明如下:設(shè)點Px0,y0),則

①當(dāng)x0=1時,點P的坐標(biāo)為(1,±),直線PF的方程為x=1,

D的坐標(biāo)為(2,±2).

此時以BD為直徑的圓與直線PF相切.

②當(dāng)≠1時直線AP的方程為,

D的坐標(biāo)為,BD中點E的坐標(biāo)為,故

直線PF的斜率為,

故直線PF的方程為,即

所以點E到直線PF的距離,故以BD為直徑的圓與直線PF相切.

綜上得,當(dāng)點P運動時,以BD為直徑的圓與直線PF相切.

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