Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D，分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，則

OB

•

OC

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．可得x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．再利用數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性即可得出．

解答： 解：設(shè)∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．
則x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．
∴B（2cosθ+2sinθ，2cosθ），C（2sinθ，2sinθ+2cosθ），
∴

OB

•

OC

=（2cosθ+2sinθ，2cosθ）•（2sinθ，2sinθ+2cosθ）
=（2cosθ+2sinθ）×2sinθ+2cosθ（2sinθ+2cosθ）
=4sinθcosθ+4sin²θ+4sinθcosθ+4cos²θ
=4sin2θ+4．
∵0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，
∴sin2θ≤1．
∴4sin2θ+4≤8．
∴

OB

•

OC

的最大值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．