Question

已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（-a，b），B（0，-b），其長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2

3

．
（Ⅰ）（�。┣髾E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ⅱ）求橢圓上到直線AB距離為

2 5

5

的點的個數(shù)；
（Ⅱ）過線段AB上的點H作與AB垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）（�。┯梢阎猚=

3

，a=2b，可求b，從而可得a，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ⅱ）求出橢圓的與AB平行的切線方程，可得到直線AB距離為

2 5

5

的點的個數(shù)；
（Ⅱ）直線l方程為y=2x+t（-1≤t≤4）代入橢圓方程，求出|PQ|，O到直線l距離，可得△OPQ面積，利用基本不等式可得最大值，從而可得此時直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）（�。┯梢阎猚=

3

，a=2b--------------------------（1分）
∴4b²=b²+3，
∴b²=1-----------（2分）
∴a²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1-；----------------（4分）
（ⅱ）由題意A（-2，0），B（0，-1），
直線AB的方程為l_AB：x+2y+2=0-------------------------（5分）
設(shè)橢圓的與AB平行的切線為：x+2y+m=0
代入橢圓方程得：2x²+2mx+m²-4=0
∴△=4m²-8（m²-4）=0，∴m=±2

2

得切線方程l₁：x+2y+2

2

=0，l₂：x+2y-2

2

=0------------（6分）
l₁與l_AB距離d₁=

2( 2 -1)

5

＜

2 5

5

，
l₂與l_AB距離d₂=

2( 2 +1)

5

，
故符合題意的點有2個-----------------------------------------------------------（8分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為y=2x+t（-1≤t≤4）代入橢圓方程
得：17x²+16tx+4（t²-1）=0
∴|PQ|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 5

17

•

17-t2

-------------------------------------（9分）
∵O到直線l距離為d=

|t|

5

-------------------------------------------（10分）
∴△OPQ面積=

1

2

d|PQ|=

1

2

•

|t|

5

|PQ|=

2

17

t2(17-t2)

≤

2

17

•

17-t2+t2

2

=1-------------（11分）
此時17-t²=t²，∴t=

34

2

此時直線方程為y=2x+

34

2

-------------------------------------（12分）

點評：本題中考查了橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．