【題目】在數(shù)列中,
,且對(duì)任意
,都有
.
(1)計(jì)算,
,
,由此推測(cè)
的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)若(
),求無(wú)窮數(shù)列
的前
項(xiàng)之和
與
的最大項(xiàng).
【答案】(1),
,
.推測(cè)
,見(jiàn)解析
(2)前項(xiàng)和為
,最大項(xiàng)為
.
【解析】
(1)直接由所給遞推公式計(jì)算,并歸納,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)無(wú)窮數(shù)列的前
項(xiàng)的和可以分成兩個(gè)等比數(shù)列的和,由此可計(jì)算和,然后對(duì)
分類,其偶數(shù)項(xiàng)遞減,奇數(shù)項(xiàng)遞增,但所有奇數(shù)項(xiàng)都滿足
,因此有
最大.
解:(1)∵,且對(duì)任意
,都有
.
∴,
,
.
由此推測(cè)的通項(xiàng)公式,
.
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí),
成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí),
.
則時(shí),
,
因此當(dāng)時(shí)也成立,
綜上:,
成立.
(2)(
),
∴,
∴無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)之和
.
當(dāng)(
)時(shí),
,
單調(diào)遞減,因此當(dāng)
時(shí),取得最大值
.
當(dāng)(
)時(shí),
,
單調(diào)遞增,且
.
綜上可得:的最大項(xiàng)為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:
的焦點(diǎn)為
,直線
與
軸的交點(diǎn)為
,與拋物線
的交點(diǎn)為
,且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)
作兩條互相垂直的弦
和
,試問(wèn)直線
是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求在區(qū)間
上的值域;
(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意給定的
,在
存在兩個(gè)不同的
使得
,若存在,求出
的范圍,若不存在,說(shuō)出理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:
,點(diǎn)
為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)
到直線
的距離為
,焦點(diǎn)
到拋物線
的準(zhǔn)線的距離為
,且
.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在軸上存在點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
的直線
分別與拋物線
相交于
,
兩點(diǎn),且
為定值,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,
,四邊形
和四邊形
是兩個(gè)全等的等腰梯形.
(1)求證:四邊形為矩形;
(2)若平面平面
,
,
,
,求多面體
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | 頻數(shù)(單位:名) |
使用“余額寶” | |
使用“財(cái)富通” | |
使用“京東小金庫(kù)” | 40 |
使用其他理財(cái)產(chǎn)品 | 60 |
合計(jì) | 1100 |
已知這1100名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多200名.
(1)求頻數(shù)分布表中,
的值;
(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為
,“京東小金庫(kù)”的平均年化收益率為
,有3名市民,每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,且分別存入“余額寶”“財(cái)富通”“京東小金庫(kù)”,求這3名市民2018年理財(cái)?shù)钠骄昊找媛剩?/span>
(3)若在1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取5人,然后從這5人中隨機(jī)選取2人,求“這2人都使用‘財(cái)富通’”的概率.
注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利率,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中,曲線
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),直線
的極坐標(biāo)方程為
,它與曲線
的交點(diǎn)為
,
,與曲線
的交點(diǎn)為
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,,
,
,
, PA=AB=BC=2. E是PC的中點(diǎn).
(1)證明: ;
(2)求三棱錐P-ABC的體積;
(3) 證明:平面
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