【題目】在數(shù)列中，，且對(duì)任意，都有．

（1）計(jì)算，，，由此推測(cè)的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）若（），求無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)之和與的最大項(xiàng)．

【答案】（1），，．推測(cè)，見(jiàn)解析

（2）前項(xiàng)和為，最大項(xiàng)為．

【解析】

（1）直接由所給遞推公式計(jì)算，并歸納，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)的和可以分成兩個(gè)等比數(shù)列的和，由此可計(jì)算和，然后對(duì)分類(lèi)，其偶數(shù)項(xiàng)遞減，奇數(shù)項(xiàng)遞增，但所有奇數(shù)項(xiàng)都滿(mǎn)足，因此有最大．

解：（1）∵，且對(duì)任意，都有．

∴，，．

由此推測(cè)的通項(xiàng)公式，．

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，．

則時(shí)， ，

因此當(dāng)時(shí)也成立，

綜上：，成立．

（2）（），

∴，

∴無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)之和.

當(dāng)（）時(shí)，，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值．

當(dāng)（）時(shí)，，單調(diào)遞增，且．

綜上可得：的最大項(xiàng)為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，且．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問(wèn)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求在區(qū)間上的值域；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意給定的，在存在兩個(gè)不同的使得，若存在，求出的范圍，若不存在，說(shuō)出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)：，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，且.

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形.

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，，，，求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：

分組

頻數(shù)（單位：名）

使用“余額寶”

使用“財(cái)富通”

使用“京東小金庫(kù)”

40

使用其他理財(cái)產(chǎn)品

60

合計(jì)

1100

已知這1100名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多200名.

（1）求頻數(shù)分布表中，的值；

（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為，“京東小金庫(kù)”的平均年化收益率為，有3名市民，每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，且分別存入“余額寶”“財(cái)富通”“京東小金庫(kù)”，求這3名市民2018年理財(cái)?shù)钠骄昊找媛剩?/span>

（3）若在1100名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取5人，然后從這5人中隨機(jī)選取2人，求“這2人都使用‘財(cái)富通’”的概率.

注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利率，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢(qián)存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，它與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，，與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，平面平面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若與平面所成的線(xiàn)面角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，， ，，， PA=AB=BC=2. E是PC的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）求三棱錐P-ABC的體積；

（3） 證明：平面

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