【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，， ，，， PA=AB=BC=2. E是PC的中點.

（1）證明： ；

（2）求三棱錐P-ABC的體積；

（3） 證明：平面

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）證明PA⊥平面ABCD, PA⊥CD即得證；（2）直接利用三棱錐的體積公式求解；（3）先證明AE⊥PC， CD⊥AE，平面即得證.

（1）因為， ，平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD, 因為平面ABCD,

所以PA⊥CD.

（2）因為PA⊥平面ABCD，所以PA是三棱錐P-ABC的高，

所以.

（3）因為， AB=BC=2.

所以AC=PA=2,

因為E是PC的中點，

所以AE⊥PC.

因為CD⊥AC,AP⊥CD,平面APC,

所以CD⊥平面PAC,

所以CD⊥AE.

因為平面PCD,

所以AE⊥平面PCD.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列中，，且對任意，都有．

（1）計算，，，由此推測的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；

（2）若（），求無窮數(shù)列的前項之和與的最大項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若曲線與交于，兩點，，的中點為，點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標進行檢測，一共抽取了件產品，并得到如下統(tǒng)計表．該廠生產的產品在一年內所需的維護次數(shù)與指標有關，具體見下表.

質量指標

頻數(shù)

一年內所需維護次數(shù)

（1）以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產品的質量指標的平均值（保留兩位小數(shù)）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產品，再從件產品中隨機抽取件產品，求這件產品的指標都在內的概率；

（3）已知該廠產品的維護費用為元/次，工廠現(xiàn)推出一項服務：若消費者在購買該廠產品時每件多加元，該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點．

（1）求證：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐PNBM的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，,.

（Ⅰ）證明：平面;

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求平面與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著人民生活水平的日益提高,某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增.由于該小區(qū)建成時間較早,沒有配套建造地下停車場,小區(qū)內無序停放的車輛造成了交通的擁堵.該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計了近五年小區(qū)登記在冊的私家車數(shù)量(累計值,如124表示2016年小區(qū)登記在冊的所有車輛數(shù),其余意義相同),得到如下數(shù)據(jù):

編號

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量（單位：輛）

34

95

124

181

216

（1）若私家車的數(shù)量與年份編號滿足線性相關關系,求關于的線性回歸方程,并預測2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量；

(2)小區(qū)于2018年底完成了基礎設施改造,劃設了120個停車位,為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題,加強小區(qū)管理,物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進入小區(qū),由于車位有限，物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡競拍的方式將車位對業(yè)主出租,租期一年,競拍方案如下：

①截至2018年已登記在冊的私家車業(yè)主擁有競拍資格；

②每車至多申請一個車位,由車主在競拍網(wǎng)站上提出申請并給出自己的報價；

③根據(jù)物價部門的規(guī)定,競價不得超過1200元；

④申請階段截止后,將所有申請的業(yè)主報價自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報價成交；

⑤若最后出現(xiàn)并列的報價,則以提出申請的時間在前的業(yè)主成交,為預測本:次競拍的成交最低價,物業(yè)公司隨機抽取了有競拍資格的40位業(yè)主進行競拍意向的調查,統(tǒng)計了他們的擬報競價,得到如下頻率分布直方圖：

（�。┣笏槿〉臉I(yè)主中有意向競拍報價不低于1000元的人數(shù)；

（ⅱ）如果所有符合條件的車主均參與競拍,利用樣木估計總體的思想,請你據(jù)此預測至少需要報價多少元才能競拍車位成功?(精確到整數(shù))

參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過坐標原點的直線交橢圓于兩點，在第一象限，軸，垂足為，連接延長交橢圓于點.

①求證：；

②求面積最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司在招聘員工時，要進行筆試，面試和實習三個過程．筆試設置了3個題，每一個題答對得5分，否則得0分．面試則要求應聘者回答3個問題，每一個問題答對得5分，否則得0分．并且規(guī)定在筆試中至少得到10分，才有資格參加面試，而筆試和面試得分之和至少為25分，才有實習的機會．現(xiàn)有甲去該公司應聘，假設甲答對筆試中的每一個題的概率為，答對面試中的每一個問題的概率為．

（1）求甲獲得實習機會的概率；

（2）設甲在去應聘過程中的所得分數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．

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