Question

設.
(Ⅰ)若對一切恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設,且是曲線上任意兩點,若對任意的,直線AB的斜率恒大于常數,求的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.

Answer 1

（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）
∴對一切恒成立等價于恒成立.
這只要求出函數的最小值即可.
（Ⅱ）直線的斜率為：
由題設有,不妨設
則  
這樣問題轉化為函數,在上單調遞增
所以恒成立，即對任意,恒成立
這樣只需求出的最小值即可.
（Ⅲ）不等式可變?yōu)?br />
由(Ⅰ) 知 （時取等號）,在此不等式中
取得： 變形得：
取得： 變形得：
取得： 變形得：
取得： 變形得：
將以上不等式相加即可得證.
試題解析：(Ⅰ)
令，則
由得.所以在上單調遞增, 在單調遞減.
所以
由此得：
又時，即為  此時取任意值都成立
綜上得： 
(II)由題設得，直線AB的斜率滿足：,
不妨設，則即：
令函數,則由以上不等式知：在上單調遞增,
所以恒成立 
所以，對任意,恒成立
又= 
故
(Ⅲ)由(Ⅰ) 知時取等號）,
取,得 
即  累加得


所以