Question

【題目】已知.

（1）證明在處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)中可得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程化簡(jiǎn)得，從而可知切線恒過(guò)點(diǎn)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的正根，即有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得到的取值范圍

（1）∵，所以

又因?yàn)?/span>，

所以在處的切線方程

即

所以在處的切線恒過(guò)定點(diǎn).

（2）∵，其中，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，

則在單調(diào)遞增，

在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

即在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

∴至多只有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意，舍去.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，

∴，∴在上單調(diào)遞減，

∵，，

∴，使得，即2，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

∴在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

∴在單調(diào)遞減，

∴在有極大值，

即

若，則，

∴，在單調(diào)遞減，不合題意，

若，

設(shè)，，

∴在單調(diào)遞增，

又，∴，

∵，

∴在單調(diào)遞增，

∴，即，

此時(shí)，

∵，

在單調(diào)遞增，

，使得，

當(dāng)時(shí)，，

∴，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，

∴，在上單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值.

又∵，

∴

∵在單調(diào)遞減，，

又∵，∴，

∴，使得，

當(dāng)時(shí)，，

∴，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

∴，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值.

綜上所述，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.