Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值．

（2），若不等式在上恒成立，求的最大值．

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）極大值沒有極小值；（2）最大值為；（3）存在，見解析

【解析】

（1）先求出，令，再列表討論的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的極值；（2）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，進(jìn)而可求出的最大值；

（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想，存在實(shí)數(shù)符合題意，其中，為的圖象與直線在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再證明在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解即可．

（1），其定義域?yàn)?/span>，

求導(dǎo)得．

令，得．

的關(guān)系列表如下：

		1
	+	0
	↗	極大值	↘

因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值沒有極小值．

（2），

因?yàn)?/span>在上恒成立，

所以在上恒成立，

設(shè)，

則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立．

，

令，解得．

的關(guān)系列表如下：

	+	0
	↗	極大值	↘

所以只需，故的最大值為．

（3）存在實(shí)數(shù)，滿足題意.

證明如下：

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

所以，即，注意到在上單調(diào)遞減，

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想，存在實(shí)數(shù)符合題意，其中，為的圖象與直線在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

故只需證明方程在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

令，則，

令，得，因?yàn)?/span>，所以只有成立.

的關(guān)系列表如下：

	+	0
	↗	極大值	↘

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

又，

所以存在，使得，滿足，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以方程在上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>．