Question

【題目】已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)和分別是的兩個(gè)極值點(diǎn)且，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對原函數(shù)求導(dǎo)，即該導(dǎo)函數(shù)在有兩個(gè)不同根，對該導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)零點(diǎn)，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論即可.

（Ⅱ）要證，即證．

由得，得.

所以原命題等價(jià)于證明．

因?yàn)?/span>，故只需證，即

令，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，故函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)a = 0時(shí)，顯然只有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a≠0時(shí)，令，那么．

若a < 0，則當(dāng)x > 0時(shí)，即單調(diào)遞增，所以無兩個(gè)零點(diǎn). … 3分

若a > 0，則當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，所以. 又，當(dāng)x→0時(shí)→，故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得．

綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

（Ⅱ）要證，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得．

由得，得.

所以原命題等價(jià)于證明．

因?yàn)?/span>，故只需證，即

令，則，設(shè)，只需證．… 10分

而，故在單調(diào)遞增，所以．

綜上得．

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)極值，不等式證明問題.要求極值，求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論極值情況，要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.