【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點,E為CD中點,過M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點P,Q,若 =t
(1)當t= 時,求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實數(shù)t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實數(shù)t的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)證明:(1)E為CD中點,∴四邊形ABCE為矩形,

∴AE⊥CD,

當t= 時,Q為AD中點,PQ∥CD,所以PQ⊥AE,

∵平面SCD⊥平面ABCD,SE⊥CD,∴SE⊥面ABCD,

∵PQ面ABCD,∴PQ⊥SE,∴PQ⊥面SAE,

所以面MNPQ⊥面SAE


(2)解:如圖,以E為原點,ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示坐標系;

設(shè)ED=a,則M((1﹣t)a,( )a, a),E(0,0,0),A(0, ,0),

Q((1﹣t)a, ,0), =(0, , ),

面ABCD一個方向向量為 =(1,0,0),

設(shè)平面MPQ的法向量 =(x,y,z),

,取z=2,得 =(0, ,2),

平面ABCD的法向量為 =(0,0,1)

∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ,

∴由題意:cosθ= = =

解得t= 或t= ,

由圖形知,當t= 時,二面角M﹣PQ﹣A為鈍二面角,不合題意,舍去

綜上:t=


【解析】(1)推導出AE⊥CD,PQ⊥AE,從而SE⊥面ABCD,由此能證明面MNPQ⊥面SAE.(2)以E為原點,ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出t的值.

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A.1
B.6
C.7
D.11

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(2)求這4個人中去參加甲游戲人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
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