Question

14．設(shè)f（x）=x²+|x-a|．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，試作出f（x）的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x，x＜0\\{x}^{2}+x，x≥0\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）=x²+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+a，x＜a\\{x}^{2}+x-a，x≥a\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論各種情況下f（x）的最小值，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x，x＜0\\{x}^{2}+x，x≥0\end{array}\right.$．
f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0]；
（2）f（x）=x²+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+a，x＜a\\{x}^{2}+x-a，x≥a\end{array}\right.$，
當(dāng)a≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$]，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為：$-\frac{1}{4}$-a；
當(dāng)$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a]，當(dāng)x=a時(shí)，f（x）的最小值為：a²；
當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的最小值為：a$-\frac{1}{4}$；

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．