Question

2．求函數(shù)f（x）=x²+ax+1在區(qū)間[-2，2]的最值．

Answer 1

分析 首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)不定對(duì)稱軸和定區(qū)間的關(guān)系分四種情況進(jìn)行討論得到具體的結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{1}{4}$a²
則：函數(shù)為開口方向向上，對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$的拋物線
①當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥2，即a≤-4時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（-2）=4-2a，f（x）_min=f（2）=4+2a，
②當(dāng)0≤-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a≤0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-2，-$\frac{a}{2}$]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-$\frac{a}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（-2）=4-2a，f（x）_min=f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$a²，
③當(dāng)-2＜-$\frac{a}{2}$＜0，即0＜2＜4時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-2，-$\frac{a}{2}$]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-$\frac{a}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（2）=4+2a，f（x）_min=f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$a²，
④當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤-2，即a≥4時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=4+2a，f（x）_min=f（-2）=4-2a，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．