Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:，當(dāng)且時，且，其中均為非零常數(shù).

（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意知，，得，再由等差數(shù)列，即可求解值；

（2）由，可得，因此，由此可知，數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.

（3）先進(jìn)行充分性證明：若則數(shù)列是等比數(shù)列；再進(jìn)行必要性證明：若數(shù)列是等比數(shù)列，則.

（1）由已知，，

得，

由數(shù)列是等差數(shù)列，得，

所以，，，

得.

（2）由，可得，

且當(dāng)時，

，

所以，當(dāng)時，，

因此，數(shù)列是一個公比為的等比數(shù)列.

故通項(xiàng)公式為

（3）是等比數(shù)列的充要條件是，

充分性證明:若，則由已知，

得，所以，是等比數(shù)列.

必要性證明:若是等比數(shù)列，由（2）知，，

，

.

當(dāng)時，.上式對也成立，

所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.

所以，當(dāng)時，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

所以，.

當(dāng)時，.上式對也成立，

所以，.

所以，.

即，等式對于任意實(shí)數(shù)均成立.

所以.