【題目】橢圓（）的離心率等于，它的一個(gè)長軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且直線與直線和分別交于兩點(diǎn)，試探究以線段為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為

【解析】

（1）由離心率及拋物線的焦點(diǎn)是橢圓長軸的端點(diǎn)即的關(guān)系可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，則由消去得關(guān)于的二次方程，根據(jù)判別式等于得，另外先求出點(diǎn)，，則可求出以線段為直徑的圓的方程，整理得，將代入即可求出定點(diǎn).

解：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為（），
因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
由，得
∴橢圓的方程為；

（2）明顯直線的斜率存在，

設(shè)，

則由，消去得，

，

整理得，

又由，得，

由，得，

所以以線段為直徑的圓為，

整理得，

將代入得，

當(dāng)時(shí)，，

所以以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅲ) 設(shè),當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的，存在，使得≥，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切制圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長均為，記過圓錐軸的平面ABCD為平面（與兩個(gè)圓錐面的交線為AC、BD），用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線E的一部分，且雙曲線E的兩條漸近線分別平行于AC、BD，則雙曲線E的離心率為（ ）

A.B.C.D.2

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【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:，當(dāng)且時(shí)，且，其中均為非零常數(shù).

（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.

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【題目】從某高中學(xué)生的體能測(cè)試結(jié)果中，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測(cè)試結(jié)果，按體重分組得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）若該校約有的學(xué)生體重不超過“標(biāo)準(zhǔn)體重”，試估計(jì)的值，并說明理由；

（2）從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行了第二次測(cè)試，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行日常運(yùn)動(dòng)習(xí)慣的問卷調(diào)查，求抽到4組的人數(shù)的分布列及期望.

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【題目】某學(xué)校有30位高級(jí)教師，其中60%人愛好體育鍛煉，經(jīng)體檢調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.

身體好

身體一般

總計(jì)

愛好體育鍛煉

2

不愛好體育鍛煉

4

總計(jì)

20

（1）根據(jù)以上信息完成列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“身體好與愛好體育鍛煉有關(guān)系”？

（2）現(xiàn)從身體一般的教師中抽取3人，記3人中愛好體育鍛煉的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學(xué)高三年級(jí)利用課余時(shí)間組織學(xué)生開展小型知識(shí)競(jìng)賽．比賽規(guī)則：每個(gè)參賽者回答A、B兩組題目，每組題目各有兩道題，每道題答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分，兩組題目得分的和做為該選手的比賽成績．小明估計(jì)答對(duì)A組每道題的概率均為，答對(duì)B組每道題的概率均為．

（Ⅰ）按此估計(jì)求小明A組題得分比B組題得分多1分的概率；

（Ⅱ）記小明在比賽中的得分為ξ，按此估計(jì)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

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（2）若，證明：.

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