Question

19．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有等式 f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且f（1）=-2．
（1）求f（0）與f（4）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）解不等式f（2x-3）+f（3x+4）＜0．

Answer 1

分析 由對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有等式 f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且f（1）=-2．
（1）令x₁=x₂=0，可得f（0），令x₁=x₂=1，可得f（2），令x₁=x₂=2，可得f（4），
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）的奇偶性，
（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將抽象不等式化為整式不等式，可得答案．

解答 解：（1）∵對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有等式 f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且f（1）=-2．
令x₁=x₂=0，則f（0）=2f（0），解得：f（0）=0，
令x₁=x₂=1，則f（2）=2f（1），解得：f（2）=-4，
x₁=x₂=2，則f（4）=2f（2），解得：f（4）=-8，
（2）令x₁=x，x₂=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（3）由（1）中f（4）＜f（0）可得：f（x）是減函數(shù)，
若f（2x-3）+f（3x+4）＜0，
則f（2x-3）＜-f（3x+4），
則f（2x-3）＜f（-3x-4），
則2x-3＞-3x-4，
解得：x∈（-$\frac{1}{5}$，+∞）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．