Question

【題目】如圖，已知橢圓：，左頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點(diǎn)，，證明：對(duì)于任意的都有恒成立；

（3）若過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得橢圓的方程；

（2）利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)的斜率，再利用直線(xiàn)的斜率相乘為，證得兩直線(xiàn)垂直；

（3）將式子表示成關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式求得最小值.

（1）由題意得：，所以橢圓，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，

所以，

所以，

因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率為，所以，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，

當(dāng)時(shí)，，故，

所以，所以，

所以對(duì)于任意的都有恒成立.

（3）因?yàn)?/span>，所以設(shè)的方程為，代入得：，

所以，.

由，得，

所以弦長(zhǎng)，

所以，

所以，

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).

所以的最小值為.