已知.
(Ⅰ)求函數(shù)在
上的最小值;
(Ⅱ)對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:對(duì)一切,都有
成立.
(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)在
上的最小值,先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù)
,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由于
的值不知,故需要分類討論,由
得,
,因此分
,與
兩種情況,進(jìn)而可求出最小值;(Ⅱ)對(duì)一切
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍,解這一類題,常常采用含有參數(shù)
的放到不等式的一邊,不含參數(shù)
(即含
)的放到不等式的另一邊,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,由
,則
,構(gòu)造函數(shù)
,則
,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)對(duì)一切
,都有
成立,即
,結(jié)合(Ⅰ)中結(jié)論可知
,構(gòu)造新函數(shù)
,分析其最大值,可得答案.
試題解析:(Ⅰ).
當(dāng)單調(diào)遞減,當(dāng)
單調(diào)遞增 2分
,即
時(shí),
; 4分
②,即
時(shí),
在
上單調(diào)遞增,
.
所以. 6分
(Ⅱ),則
,
設(shè),則
, 8分
①單調(diào)遞減,②
單調(diào)遞增,
所以,對(duì)一切
恒成立,
所以. 10分
(Ⅲ)問題等價(jià)于證明,
由(Ⅰ)可知的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取到. 12分
設(shè),則
,當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減,故當(dāng)
時(shí)
取得最大值,即
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取到,從而對(duì)一切
,都有
成立. 14分
考點(diǎn):函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求
的極值;
(Ⅱ)若在定義域內(nèi)無(wú)極值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬(wàn)元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:
,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元,產(chǎn)量定為多少件時(shí)總利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
且
的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)與
公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)
,我們把
的值稱為兩函數(shù)在
處的偏差,求證:函數(shù)
與
在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
若函數(shù)(
為實(shí)常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)設(shè).
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
②若函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1e/3/tnl6b.png" style="vertical-align:middle;" />,求函數(shù)
的最小值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí),這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.,試問函數(shù)
在
上是否存在保值區(qū)間?若存在,請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知點(diǎn),直線
與函數(shù)
的圖象交于點(diǎn)
,與
軸交于點(diǎn)
,記
的面積為
.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(1)求,
的值;
(2)對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)
,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若,求
在
處的切線方程;
(2)若在
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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