Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)，且的圖象過定點(diǎn)．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若關(guān)于x的方程，有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）設(shè)出的解析式，根據(jù)點(diǎn)求得的解析式.根據(jù)為奇函數(shù)，求得解析式.

（2）根據(jù)的單調(diào)性和值域，求得的取值范圍.

（3）證得的單調(diào)性，結(jié)合的奇偶性化簡不等式，得到對任意的，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.

（1）設(shè)(，且)，則，

所以 (舍去)或，

所以，．

又為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>R，

所以，即，所以，

所以．

（2）由于為上減函數(shù)，由于，所以，所以，所以.

（3）設(shè)，

則．

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，即，

所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減．

要使對任意的，

恒成立，

即對任意的，

恒成立．

因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，

所以恒成立．

又因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，

所以對任意的，恒成立，

即對任意的，恒成立．

令，，

時，成立；

時，

所以，．

，，無解．

綜上，．