Question

已知函數(shù)f(x)=(x²+ax+2)e^x,(x,a∈R).

(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=f(x)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)當時，求函數(shù)f(x)的極小值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 5ex-y-2e=0 (2) ［-2,2］ (3)

【解析】

試題分析：f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］

(1)當a=0時，f(x)=(x²+2)e^x,f′(x)=e^x(x²+2x+2),f(1)=3e,

f′(1)=5e,

∴函數(shù)f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.

(2)f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］,

考慮到e^x>0恒成立且x²系數(shù)為正.

∴f(x)在R上單調(diào)等價于x²+(a+2)x+a+2≥0恒成立.

∴(a+2)²-4(a+2)≤0.

解得-2≤a≤2,即a的取值范圍是［-2,2］,

(3)當時，f(x)=,

f′(x)=

令f′(x)=0,得或x=1.

令f′(x)>0,得或x>1.

令f′(x)<0，得

x，f′(x)，f(x)的變化情況如下表

所以，函數(shù)f(x)的極小值為

考點：利用導數(shù)求切線斜率，求函數(shù)極值最值

點評：注意極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：最大值是極值與邊界值中最大的函數(shù)值，最小值是極值與邊界值中最小的函數(shù)值