Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）

（1）求證：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為 ，求k的值
（3）現(xiàn)將與四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式．（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取DC的中點(diǎn)E，連接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1

（2）

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 、 、 的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．

∴ ， ， ．

設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，取y=2，則z=﹣6k，x=3．∴ ．

設(shè)AA1與平面AB1C所成角為θ，則 = = = ，解得k=1，故所求k=1．

（3）

解：由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

寫出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出f（k）=

【解析】（1）取DC得中點(diǎn)E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出；（3）由題意可與左右平面ADD1A1 ， BCC1B1 ， 上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出f（k）．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．