Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若,存在,使得,求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) .

【解析】

(1)根據(jù)的不同取值,結(jié)合絕對值的性質(zhì),分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 求出二次函數(shù)的對稱軸,根據(jù)對稱軸和所給的區(qū)間的位置進行分類討論,即可求出實數(shù)的取值范圍．

(1)當時, ,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

當時, ,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當時, ,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減；

(2)二次函數(shù)的對稱軸為：.

①當時,二次函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),因此有：

,

所以一元二次方程在區(qū)間上有兩不等根,則有

；

②當時,二次函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),因此有：

,所以可以看成一元二次方程兩根,則，有；

③當時, ,所以由

函數(shù)的最大值是中的一個值, .

①若時,有,此時,所以或

(i)若時,

(ii)若,由（舍）：

②若時,有,此時,

因此有,

根據(jù)

綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.