【題目】在平面四邊形中(如圖1),為的中點,,,且,,現(xiàn)將此平面四邊形沿折起使二面角為直二面角,得到立體圖形(如圖2),又為平面內一點,并且為正方形,設,,分別為,,的中點.
(Ⅰ)求證:面面;
(Ⅱ)在線段上是否存在一點,使得面與面所成二面角的余弦值為?若存在,求線段的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)存在一點符合題意,線段
【解析】
(Ⅰ)由已知條件得、,從而,從而面,同理,面,由此能證明面面;(Ⅱ)根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標系,求出面的一個法向量,設,求出面的法向量為,根據(jù)法向量與二面角之間的關系即可得結果.
(Ⅰ)∵點、、分別為、、的中點,
∴、分別為、的中位線,∴、,
又正方形中,,∴,
又面,面,
∴面,
同理,面,
又,面,面,∴面面.
(Ⅱ)∵二面角為直二面角,又,,∴,
如圖建系,則有,,,,,
則,,
設面的法向量,
則,取,得,
設,,則,,
設面的法向量為,
則,
取,得,
由面與面所成二面角的余弦值為,得,
令,解得或,
令,解得;令,解得(舍去)
∴在線段上存在一點,此時,線段.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】空氣質量指數(shù)(簡稱:)是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數(shù),空氣質量按照大小分為六級:為優(yōu),為良,為輕度污染,為中度污染,為重度污染,為嚴重污染.下面記錄了北京市天的空氣質量指數(shù),根據(jù)圖表,下列結論錯誤的是( )
A. 在北京這天的空氣質量中,按平均數(shù)來考察,最后天的空氣質量優(yōu)于最前面天的空氣質量 B. 在北京這天的空氣質量中,有天達到污染程度
C. 在北京這天的空氣質量中,12月29日空氣質量最好 D. 在北京這天的空氣質量中,達到空氣質量優(yōu)的天數(shù)有天
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過點作拋物線的兩條切線,切點分別為,直線的斜率為2.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)與圓相切的直線,與拋物線交于兩點,若在拋物線上存在點,使,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:, . (其中為自然對數(shù)的底數(shù),)
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)設,是否存在實數(shù),使得對任意成立?若存在,求出的一個值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某糧油超市每月按出廠價30元/袋購進種大米,根據(jù)以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),若零售價定為42元/袋,每月可銷售320袋.現(xiàn)為了促銷,經(jīng)調查,若零售價每降低一元,則每月可多銷售40袋.在每月的進貨都銷售完的前提下,零售價定為多少元/袋以及每月購進多少袋大米,超市可獲得最大利潤,并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;
(2)已知點,點,直線過點且與曲線相交于,兩點,設線段的中點為,求的值.
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