【題目】先將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位,然后再將所得圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,最后再將所得圖象向上平移1個單位,得到函數(shù)y=sinx的圖象.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于點M( ,2)對稱,求函數(shù)y=g(x)在[0, ]上的最小值和最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可得,把函數(shù)y=sinx的圖象向下平移1個單位得y=sinx﹣1的圖象,
然后再將y=sinx﹣1圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的 倍,得到y(tǒng)=sin2x﹣1的圖象,
最后將函數(shù)y=sin2x﹣1的圖象向右平移 個單位得y=sin2(x﹣ )﹣1的圖象,
所以函數(shù)y=f(x)的表達式是y=sin(2x﹣ )﹣1.
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x)=sin(2x﹣ )﹣1圖象任意一點為P(m,n),點P(m,n)關(guān)于點M( ,2)對稱點為Q(x,y),
由于函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于點M( ,2)對稱,點Q(x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點.
由中點坐標公式可得m+x= 且 n+y=4,即 m= ﹣x且 n=4﹣y.
由點P(m,n)在函數(shù) y=sin(2x﹣ )﹣1的圖象上,可得n=sin(2m﹣ )﹣1,即有4﹣y=sin[2( ﹣x)﹣ )]﹣1,
化簡得y=sin(2x﹣ )+5,所以函數(shù)y=g(x)的解析式為y=sin(2x﹣ )+5.
由于x∈[0, ],所以y=g(x)=sin(2x﹣ )+5,根據(jù)2x﹣ ∈[﹣ ],y=sin(2x﹣ )+5∈[4,5+ ],
函數(shù)y=g(x)在[0, ]的最小值和最大值分別為4和5+
【解析】(Ⅰ)由條件利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.(Ⅱ)由條件利用兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某個點對稱的性質(zhì),正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)y=g(x)在[0, ]的最小值和最大值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識,掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象.

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