Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB= ，EF=1，BC= ，且M是BD的中點(diǎn)．．
（1）求證：EM∥平面ADF；
（2）求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，

∴MN∥AB，MN= AB．

又∵EF∥AB，EF= AB，∴MN∥EF且MN=EF，

∴四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN．

又∵FN平面ADF，EM平面ADF，

∴EM∥平面ADF；

（2）解：取AB中點(diǎn)G，連接FG，DG，則FG∥EB，F(xiàn)G=

∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，

∴∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角

∵BC= ，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3

∵BG=1，∴DG=

∴tan∠FDG= = =

（3）解：因為EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz．

由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F(xiàn)（0，1， ）

∴ =（3，﹣2，0）， =（0，﹣1， ）．

設(shè)平面ADF的一個法向量是 =（x，y，z）．

由 ，得 ，令y=3，則 =（2，3， ）

因為EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．

又因為AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．

∴ =（3，0，0）是平面EBAF的一個法向量．

∴cos＜ ＞= =

∵二面角D﹣AF﹣B為銳角，

∴二面角D﹣AF﹣B的大小為60°

【解析】（1）取AD的中點(diǎn)N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；（2）取AB中點(diǎn)G，連接FG，DG，可得∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角，從而可求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求出平面ADF、平面EBAF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D﹣AF﹣B的大�。�
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．