Question

【題目】在楊輝三角形中，從第2行開始，除1以外，其它每一個數值是它上面的兩個數值之和，該三角形數陣開頭幾行如圖所示.

(1)在楊輝三角形中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比是3∶4∶5？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；

(2)已知n，r為正整數，且n≥r＋3.求證：任何四個相鄰的組合數C，C，C，C不能構成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：(1) 楊輝三角形的第行由二項式系數組成.

若第行中有三個相鄰的數之比為則

解之即可說明存在；

利用組合數公式可得兩式相減得，所以C，C，C，C成等差數列，由二項式系數的性質可知C＝C＜C＝C，這與等差數列的性質矛盾，從而要證明的結論成立

試題解析：(1)解　存在.楊輝三角形的第n行由二項式系數C，k＝0，1，2，…，n組成.

若第n行中有三個相鄰的數之比為3∶4∶5，

則，

即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.

即第62行有三個相鄰的數C，C，C的比為3∶4∶5.

(2)證明　若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差數列，

則2C＝C＋C，2C＝C＋C，

即＝＋，

＝＋，

所以＝＋，

＝＋，

整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.

兩式相減得n＝2r＋3，

所以C，C，C，C成等差數列，

由二項式系數的性質可知C＝C＜C＝C，

這與等差數列的性質矛盾，從而要證明的結論成立