Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比大于零，a₁+a₂=3，a₃=4，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b_n=

n(n+1)

n+c

，c≠0是常數(shù)．
（1）求c的值，數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：c₁=1，c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），求數(shù)列{c_n}的通項公式及使得c_n-2b_n≥0成立的n的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列通項公式的特點結(jié)合b_n=

n(n+1)

n+c

可設(shè)b_n=

n(n+1)

n+c

=n+t，整理后由系數(shù)間的關(guān)系求得c=1，則等差數(shù)列{b_n}的通項公式可求．再設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比，由a₁+a₂=3，a₃=4聯(lián)立求出首項和公比，則等比數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）把{a_n}的通項公式代入c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），利用累加法求得數(shù)列{c_n}的通項公式，再把{b_n}和{c_n}的通項公式代入c_n-2b_n≥0，通過構(gòu)造輔助函數(shù)f（n）=2^n-1-2n，作差判斷出f（n）的單調(diào)性，結(jié)合計算f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）=0得答案．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b_n=

n(n+1)

n+c

，
∴b_n=

n(n+1)

n+c

=n+t，則n²+n=n²+（t+c）n+tc，
即t+c=1，且tc=0，
又c≠0，
∴t=0，則c=1．
∴b_n=n．
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁+a₂=3，a₃=4，得：

a1(1+q)=3 a1q2=4

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=2n-1；
（2）∵c_n-c_n-1=a_n-1（n≥2），
∴cn-cn-1=2n-2（n≥2），
則c2-c1=20
c3-c2=21
…
cn-cn-1=2n-2（n≥2）．
累加得：cn-c1=20+21+…+2n-2=

1×(1-2n-1)

1-2

=2n-1-1．
又c₁=1，
∴cn=2n-1（n≥2）．
當(dāng)n=1時滿足，
∴cn=2n-1．
由c_n-2b_n≥0，得2^n-1-2n≥0，
令f（n）=2^n-1-2n，
則f（n+1）-f（n）=2ⁿ-2（n+1）-2^n-1+2n=2^n-1-2，
當(dāng)n≥2時f（n）單調(diào)遞增．
又f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）=0．
∴n≥4．
故使得c_n-2b_n≥0成立的n的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求解不等式，是中高檔題．