Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f（x）=3^x，當(dāng)2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）時(shí)，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+1）=-

1

f(x)

可得2是f（x）的周期，所以2k+

1

2

＜x＜2k+1時(shí)的解析式和

1

2

＜x＜1時(shí)f（x）的解析式相同，所以來求

1

2

＜x＜1時(shí)f（x）解析式即可．設(shè)

1

2

＜x＜1，f（x）=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

31-x

=3x-1，所以2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）時(shí)，f（x）=3^x-1．

解答： 解：由f(x+1)=-

1

f(x)

得：f（x+2）=-

1

f(x+1)

=f(x)；
∴2是函數(shù)f（x）的周期；
設(shè)-

1

2

＜x＜0，f(x)=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

，0＜1-x＜

1

2

，∴f(x)=

1

31-x

=3^x-1；
當(dāng)2k+

1

2

＜x＜2k+1（k∈Z）時(shí)，

1

2

＜x-2k＜1，f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．

點(diǎn)評(píng)：考查周期函數(shù)的概念，奇函數(shù)的概念，以及求函數(shù)解析式．