Question

如圖所示，某建筑工地準(zhǔn)備建造一間兩面靠墻的三角形露天倉(cāng)庫(kù)堆放材料，已知已有兩面墻CA、CB的夾角為60°（即∠ACB=60°），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（兩面墻的長(zhǎng)均大于6米），為了使得倉(cāng)庫(kù)的面積盡可能大，記∠ABC=θ，問(wèn)當(dāng)θ為多少時(shí)，所建造的三角形露天倉(cāng)庫(kù)的面積最大，并求出最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：在三角形ABC中，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出AC與BC，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，整理后根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出三角形ABC面積的最大值，以及此時(shí)θ的值．

解答： 解：在△ABC中，由正弦定理：

AC

sinθ

=

AB

sin π 3

=

BC

sin( 2π 3 -θ)

，
化簡(jiǎn)得：AC=

ABsinθ

sin π 3

=

6sinθ

3 2

=4

3

sinθ，BC=

ABsin( 2π 3 -θ)

sin π 3

=

6sin( 2π 3 -θ)

3 2

=4

3

sin（

2π

3

-θ）=4

3

sin（θ+

π

3

），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=12

3

sinθsin（θ+

π

3

）
=12

3

sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）
=6

3

（sin²θ+

3

sinθcosθ）
=6

3

（

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ）      
=6

3

sin（2θ-

π

6

）+3

3

，
∵0＜θ＜

2π

3

，
∴當(dāng)2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時(shí)，（S_△ABC）_max=9

3

，
答：當(dāng)θ=60°時(shí)，所建造的三角形露天倉(cāng)庫(kù)的面積最大且值為9

3

m²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．