Question

設(shè)集合A={a₁，a₂，…，a_n}（a_i∈N^*，i=1，2，3，…，n，n∈N^*），若存在非空集合B，C，使得B∩C=∅，B∪C=A，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，則稱集合A為“最強(qiáng)集合”．
（1）若“最強(qiáng)集合”A={1，2，3，4，m}，求m的所有可能值；
（2）若集合A的所有n-1元子集都是“最強(qiáng)集合”，求n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：新定義,集合

分析：（1）根據(jù)題意求出m的可能值，并說明原因；
（2）說明最強(qiáng)集合A中的每個(gè)元素可以都是偶數(shù)，也可以都是奇數(shù)；
驗(yàn)證命題成立時(shí)滿足條件的n的最小值即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意得，m的可能值為6，8，10；
原因如下：
若1+3+4=2+m，則m=6；
若2+3+4=1+m，則m=8；
若1+2+3+4=m，則m=10；
（2）設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，根據(jù)題目條件不難判定：
對(duì)任意的i=1，2，…，n，S_n-a_i是偶數(shù)；
①如果S_n是偶數(shù)，則A中的每個(gè)元素也都是偶數(shù)，
即存在b_i∈N^*，使得a_i=2b_i，
而集合B={b₁，b₂，…，b_n}的每一個(gè)n-1元子集也是“最強(qiáng)集合”；
對(duì)集合B可以重復(fù)上面的討論，總可以得到一個(gè)所有元素之和都是奇數(shù)且每一個(gè)n-1元子集都是“最強(qiáng)集合”的集合．
②不妨設(shè)S_n是奇數(shù)，則對(duì)任意的i=1，2，…，n，a_i也都是奇數(shù)，
又因?yàn)镾_n=a₁+a₂+…+a_n，故n也是奇數(shù)；
假設(shè)奇數(shù)n≤5，對(duì)于n=1，3的情形，顯然找不出滿足條件的集合A，
設(shè)n=5，且不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
若集合{a₂，a₃，a₄，a₅}是“最強(qiáng)集合”，則a₂+a₅=a₃+a₄或a₂+a₃+a₄=a₅；
若集合{a₁，a₃，a₄，a₅}是“最強(qiáng)集合”，則a₁+a₅=a₃+a₄或a₁+a₃+a₄=a₅；
考慮其他可能的組合：
如果

a2+a5=a3+a4 a1+a5=a3+a4

，那么a₁=a₂，與集合元素的互異性矛盾；
如果

a2+a5=a3+a4 a1+a3+a4=a5

，那么a₁+a₂=0，與a_i∈N^*矛盾；
如果

a2+a3+a4=a5 a1+a5=a3+a4

，那么a₁+a₂=0，與a_i∈N^*矛盾；
如果

a2+a3+a4=a5 a1+a3+a4=a5

，那么a₁=a₂，與元素的互異性矛盾；
因此奇數(shù)n＞5，而當(dāng)n=7時(shí)，容易驗(yàn)證集合A={1，3，5，7，9，11，13}的每一個(gè)6元子集均為“最強(qiáng)集合”；
綜上所述，n的最小值為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的有關(guān)元素與集合的概念和運(yùn)算問題，解題時(shí)應(yīng)理解題意，并根據(jù)所掌握的知識(shí)解答問題，是較難的題目．