【題目】如圖,在四棱錐中, 底面,底面為矩形,且, 為的中點.
(1)過點作一條射線,使得,求證:平面平面;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)由題意畫出圖形,連接AC交BD于F,連接FE,由底面ABCD為矩形,得F為AC的中點,又E為PC的中點,利用三角形中位線定理可得EF∥PA,則PA∥平面BDE,再由AG∥BD,利用線面平行的判定可得AG∥平面BDE,結合面面平行的判定得平面PAG∥平面BDE;
(2)取CD的中點H,連接EH,則EH∥PD,因為PD⊥底面ABCD,所以EH⊥底面ABCD,
過H作MH⊥BD,垂足為M,連接EM,則∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角,求出即可.
試題解析:
(1)在矩形ABCD中,連接AC,
設其與BD交于點O,連接OE,則O是AC的中點,
又E是PC的中點,所以 OE∥PA,
又平面BDE, 平面BDE,所以PA∥平面BDE
同理AG∥平面BDE.
因為AG=A,
所以平面PAG∥平面BDE.;
(2)取CD的中點H,連接EH,則EH∥PD,
因為PD⊥底面ABCD,所以EH⊥底面ABCD,
過H作MH⊥BD,垂足為M,連接EM,
則∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角
令AD=1.則PD=1,AB=2,
在Rt△EMH中,易求得EH=,MH=,
∠EMH=
所以二角面E-BD-C的正切值為
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【題目】已知二次函數f(x)滿足f(-x-1)=f(x-1),其圖象過點(0,1),且與x軸有唯一交點。
(1)求f(x)的解析式;
(2)設函數g(x)=f(x)-(2+a)x,求g(x)在[1,2]上的最小值h(a)。
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【題目】某工廠2萬元設計了某款式的服裝,根據經驗,每生產1百套該款式服裝的成本為1萬元,每生產(百套)的銷售額(單位:萬元).
(1)若生產6百套此款服裝,求該廠獲得的利潤;
(2)該廠至少生產多少套此款式服裝才可以不虧本?
(3)試確定該廠生產多少套此款式服裝可使利潤最大,并求最大利潤.(注:利潤=銷售額-成本,其中成本=設計費+生產成本)
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E是棱PD的中點,點F是PC的中點. (Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD為正方形, ,求二面角C﹣AF﹣D大。
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【題目】已知等腰梯形中(如圖1),, , , 為邊上一點,且,將沿折起,使平面平面(如圖2).
(1)證明:平面平面;
(2)試在棱上確定一點,使截面把幾何體分成的兩部分.
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【題目】某校為了普及環(huán)保知識,增強學生的環(huán)保意識,在全校組織了一次有關環(huán)保知識的競賽.經過初賽、復賽,甲、乙兩個代表隊(每隊3人)進入了決賽,規(guī)定每人回答一個問題,答對為本隊贏得10分,答錯得0分.假設甲隊中每人答對的概率均為 ,乙隊中3人答對的概率分別為 , , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用ξ表示乙隊的總得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和數學期望;
(Ⅱ)求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率.
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【題目】已知函數y=f(x)在定義域[-1,1]上既是奇函數,又是減函數.
(1)求證:對任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;
(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數a的取值范圍.
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