Question

【題目】已知函數(shù) （a＜0）． （Ⅰ）當(dāng)a=﹣3時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a=﹣3，∴ ，

故 ，

令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜﹣2或x＞0，

即所求的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣3，﹣2）和（0，+∞）；

（Ⅱ）∵ （x＞a），

令f′（x）=0，得x=0或x=a+1，

當(dāng)a+1＞0，即﹣1＜a＜0時(shí)，

f（x）在（a，0）和（a+1，+∞）上為減函數(shù)，在（0，a+1）上為增函數(shù)，

由于f（0）=aln（﹣a）＞0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→+∞，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，于是可得函數(shù)f（x）圖象的草圖如圖：

此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

即當(dāng)﹣1＜a＜0對(duì)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a=﹣1時(shí)， ，

∵ ，∴f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞減，

又當(dāng)x→﹣1時(shí)，f（x）→+∞．當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，

故函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a+1＜0即a＜﹣1時(shí)，

f（x）在（a，a+1）和（0，+∞）上為減函數(shù)，在（a+1，0）上為增函數(shù)，

又f（0）=aln（﹣a）＜0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，

于是可得函數(shù)f（x）圖象的草圖如圖：

此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，所求的范圍是a＜0．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的圖象求出a的具體范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．