Question

【題目】某校為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競賽．經(jīng)過初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽，規(guī)定每人回答一個(gè)問題，答對為本隊(duì)贏得10分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為 ，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為 ， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示乙隊(duì)的總得分． （Ⅰ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．

Answer 1

【答案】解：由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，

由于乙隊(duì)中3人答對的概率分別為 ， ， ，

P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（ξ=10）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=20）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=30）= × × = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	10	20	30
P

∴Eξ=0× +10× +20× +30× = ．

（Ⅱ）由A表示“甲隊(duì)得分等于30乙隊(duì)得分等于0”，B表示“甲隊(duì)得分等于20乙隊(duì)得分等于10”，可知A、B互斥．

又P（A）= = ，P（B）= × × = ，

則甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率為

P（A+B）=P（A）+P（B）= = ．

【解析】（Ⅰ）由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲隊(duì)得分等于30乙隊(duì)得分等于0”，B表示“甲隊(duì)得分等于20乙隊(duì)得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．
【考點(diǎn)精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．